「湯布院」と「由布院」、どっちが正しいの?

どちらも間違いではありません。

湯布院は昭和30年に由布院町と湯平町が合併して誕生した地名です。
厳密にいうと、湯平町を含む場合は湯布院、含まない場合は由布院となります。
例えば、高速道路のゆふいんインターチェンジは「湯布院」、JRのゆふいん駅は「由布院」という具合に表記が異なるというわけです。

地元住民の間では湯布院と由布院の違いや経緯は解っていますが、時が流れるにつれ、湯布院と由布院をきっちり分けて考える地元住民は少なくなり、又、観光に訪れる人も、「駅は由布院、観光地は湯布院」くらいの感覚で捉えているようです。
観光客の方にとって 「湯布院」という名は、地名というより観光地のブランド的なイメージが高いのでは、と思います。

このサイトもそうですが、今は“ゆふいん”というかな表記が増えたような気がしています。